3. Выполнить действия (a > 0, b > 0): 1) $ a^{14+\sqrt{15}} \cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{15}-1}}\right) $; 2) $\frac{\sqrt[6]{64ab} - \sqrt[6]{729b}}{\sqrt[6]{b}} - 2\sqrt[6]{a}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 3. Выполнить действия (a > 0, b > 0): 1) $ a^{14+\sqrt{15}} \cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{15}-1}}\right) $; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Упрощение первого выражения:
$ a^{14+\sqrt{15}} \cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{15}-1}}\right) = a^{14+\sqrt{15}} \cdot a^{-(\sqrt{15}-1)} = a^{14+\sqrt{15}} \cdot a^{-\sqrt{15}+1} $.
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
$ a^{(14+\sqrt{15}) + (-\sqrt{15}+1)} = a^{14+\sqrt{15}-\sqrt{15}+1} = a^{14+1} = a^{15} $.
2) Упрощение второго выражения:
$\frac{\sqrt[6]{64ab} - \sqrt[6]{729b}}{\sqrt[6]{b}} - 2\sqrt[6]{a}$
Разделим каждый член числителя на знаменатель:$
\( \frac{\sqrt[6]{64ab}}{\sqrt[6]{b}} - \frac{\sqrt[6]{729b}}{\sqrt[6]{b}} - 2\sqrt[6]{a} $
Используем свойство $ \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} = \sqrt[n]{\frac{x}{y}} $:
$ \sqrt[6]{\frac{64ab}{b}} - \sqrt[6]{\frac{729b}{b}} - 2\sqrt[6]{a} $
Сократим $ b $ в дробях:
$ \sqrt[6]{64a} - \sqrt[6]{729} - 2\sqrt[6]{a} $
Теперь выделим множители из-под корня:$ \sqrt[6]{64} \cdot \sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{729} - 2\sqrt[6]{a} $
Мы знаем, что $ 2^6 = 64 $ и $ 3^6 = 729 $.
$ 2\sqrt[6]{a} - 3 - 2\sqrt[6]{a} $
Сложим подобные члены:
$ (2\sqrt[6]{a} - 2\sqrt[6]{a}) - 3 = 0 - 3 = -3 $.

Ответ: 1) $ a^{15} $; 2) -3.

3. Выполнить действия (a > 0, b > 0): 1) \( a^{14+\sqrt{15}} \cdot \left(\frac{1}{a^{\sqrt{15}-1}}\right) \); 2) \(\frac{\sqrt[6]{64ab} - \sqrt[6]{729b}}{\sqrt[6]{b}} - 2\sqrt[6]{a}\).