4. Сравните числа: 1) $\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}$; 2) $(4,6)^{\sqrt{13}}$; и $\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}$; и $(4)^{\sqrt{13}}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Сравните числа: 1) $\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}$; 2) $(4,6)^{\sqrt{13}}$; и…$ Фото задания

4. Сравните числа: 1) $\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}$; 2) $(4,6)^{\sqrt{13}}$; и $\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}$; и $(4)^{\sqrt{13}}$.

Accepted Answer

Решение:

Сравнение чисел $\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}$; и $\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}$:
Основания степеней $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{3}{7} $ меньше 1. При сравнении таких оснований, чем больше основание, тем меньше значение степени, если показатель степени положительный.
Сравним основания: $ \frac{5}{9} $ и $ \frac{3}{7} $. Приведём к общему знаменателю $ 63 $: $ \frac{5 \times 7}{9 \times 7} = \frac{35}{63} $ и $ \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63} $.
Так как $ \frac{35}{63} > \frac{27}{63} $, то $ \frac{5}{9} > \frac{3}{7} $.
Показатели степеней $ \frac{4}{7} $ и $ \frac{3}{7} $ положительные.
Чтобы сравнить числа $ A^m $ и $ B^n $, где $ A, B < 1 $, нужно привести показатели к одному значению.
Приведём показатели к общему знаменателю 28: $ \frac{4}{7} = \frac{16}{28} $ и $ \frac{3}{7} = \frac{12}{28} $.
Так как основания меньше 1, сравним числа $ \left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{16}{28}}$; и $ \left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{12}{28}}$.
Это сравнение затруднительно без дополнительных преобразований или калькулятора.
Простой способ:
Поскольку основания $ \frac{5}{9} < 1 $ и $ \frac{3}{7} < 1 $, и показатели $ \frac{4}{7} > 0 $ и $ \frac{3}{7} > 0 $, чем больше основание, тем меньше значение степени.
Мы выяснили, что $ \frac{5}{9} > \frac{3}{7} $.
Сравниваем теперь показатели: $ \frac{4}{7} > \frac{3}{7} $.
Так как основание $ \frac{5}{9} $ больше, а показатель $ \frac{4}{7} $ тоже больше, а основания меньше 1, это усложняет сравнение.
Перейдём к логарифмам или возведём в степень 7:
$ \left(\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}\right)^7 = \left(\frac{5}{9}\right)^4 = \frac{625}{6561} $
$ \left(\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}\right)^7 = \left(\frac{3}{7}\right)^3 = \frac{27}{343} $
Сравним $ \frac{625}{6561} $ и $ \frac{27}{343} $.
$ \frac{625}{6561} \approx 0.095 $
$ \frac{27}{343} \approx 0.0787 $
Значит, $ \frac{625}{6561} > \frac{27}{343} $.
Следовательно, $ \left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}} > \left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}} $.
Сравнение чисел $(4,6)^{\sqrt{13}}$; и $(4)^{\sqrt{13}}$:
Основания степеней $ 4,6 $ и $ 4 $ больше 1. Показатель степени $ \sqrt{13} $ положительный.
При основании больше 1, чем больше основание, тем больше значение степени.
Так как $ 4,6 > 4 $, то $ (4,6)^{\sqrt{13}} > 4^{\sqrt{13}} $.

Ответ: 1) $\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}} > \left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}$; 2) $(4,6)^{\sqrt{13}} > 4^{\sqrt{13}}$.

4. Сравните числа: 1) \(\left(\frac{5}{9}\right)^{\frac{4}{7}}\); 2) \((4,6)^{\sqrt{13}}\); и \(\left(\frac{3}{7}\right)^{\frac{3}{7}}\); и \((4)^{\sqrt{13}}\).

Ответ:

Решение: