3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: a) 3x − y = 5, 6x + 2y = 10; б) 3x − y = 5, 15x − 5y = 25; в) 3x − y = 5, 9x − 3y = 1.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Система:

3x − y = 5

6x + 2y = 10

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 3x - 5

2. Подставим во второе уравнение:
   

   6x + 2(3x - 5) = 10

   6x + 6x - 10 = 10

   12x = 20

   x = 20/12 = 5/3

3. Найдем y:
   

   y = 3(5/3) - 5 = 5 - 5 = 0

б) Система:

3x − y = 5

15x − 5y = 25

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 3x - 5

2. Преобразуем второе уравнение, разделив на 5:
   

   3x - y = 5

3. Сравним уравнения:
   Оба уравнения идентичны. Это означает, что любое решение первого уравнения является решением второго.

в) Система:

3x − y = 5

9x − 3y = 1

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 3x - 5

2. Подставим во второе уравнение:
   

   9x - 3(3x - 5) = 1

   9x - 9x + 15 = 1

   15 = 1 (неверно)

3. Вывод:
   Получили противоречие, что означает отсутствие решений.

Ответ: а) Система имеет одно решение (x = 5/3, y = 0). б) Система имеет бесконечно много решений. в) Система не имеет решений.