3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: a) 4x + y = 6, 8x + 2y = 12; б) 4x + y = 6, 12x − 3y = 18; в) 4x + y = 6, 2x + 1 2 y = 9.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Система:

4x + y = 6

8x + 2y = 12

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 6 - 4x

2. Умножим второе уравнение на 1/2:
   

   4x + y = 6

3. Сравнение:
   Оба уравнения идентичны.

б) Система:

4x + y = 6

12x − 3y = 18

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 6 - 4x

2. Преобразуем второе уравнение, разделив на 3:
   

   4x − y = 6

3. Сравнение:
   Уравнения имеют разные знаки при y (одно +y, другое -y), но при этом свободные члены одинаковы. Если бы второе уравнение было

   4x − y = -6

   , то решений было бы 0. А так, в данном случае, это будет одно решение.

в) Система:

4x + y = 6

2x +
1
2
y = 9

1. Преобразуем первое уравнение:
   

   y = 6 - 4x

2. Преобразуем второе уравнение, умножив на 2:
   

   4x + y = 18

3. Сравнение:
   Уравнения

   4x + y = 6

   и

   4x + y = 18

   противоречивы.

Ответ: а) Система имеет бесконечно много решений. б) Система имеет одно решение. в) Система не имеет решений.