Ответ:

Деепричастный оборот «подыскать подходящие и искренние слова» выделяется запятой. Перед противительным союзом «но», соединяющим части сложного предложения, ставится запятая.

Он хотел извиниться перед другом, подыскав подходящие и искренние слова, но тот так и не принял его извинений.