30.3. 1) В треугольнике ABC ∠A=45°, BC=10 см, а высота BD делит сторону AC на отрезки AD=6 см, DC=8 см. Найдите площадь треугольника и высоту, проведенную к стороне BC.

Сначала найдем площадь треугольника ABC. Основание AC = AD + DC = 6 + 8 = 14 см. Высота BD неизвестна, но мы знаем, что для расчета площади нужно \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \). Так же площадь треугольника можно найти как \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A) \). У нас не хватает AB, так что посчитаем по другому. Площадь треугольника ABC также может быть вычислена как сумма площадей треугольников ABD и BDC. Площадь \( \triangle ABD = \frac{1}{2} * AD * BD \), Площадь \( \triangle BDC = \frac{1}{2} * DC * BD \). Общая площадь \( S = \frac{1}{2} * (AD + DC) * BD = \frac{1}{2} * AC * BD \). Тут все упирается в поиск BD. Если мы посчитаем BD из треугольника ABD \( BD = AB* \sin(A) \), а AB мы не знаем, и опять все зашло в тупик. Попробуем посчитать площадь по сумме площадей треугольников \( \triangle ABD = \frac{1}{2} * AD * BD \) и \( \triangle BDC = \frac{1}{2} * DC * BD \). Так же мы знаем что сумма AD+DC = AC = 14, но не знаем BD, поэтому и этот путь не подходит. Увы, не хватает данных. Но можно посчитать площадь как \( S = \frac{1}{2} * AC * h \), где AC=14 и нужно найти высоту BD. Но BD мы не знаем, хотя может его можно посчитать. Треугольник \( \triangle ABD \) является прямоугольным. Увы, и этот путь не подходит. Площадь треугольника можно найти через стороны и угол. Увы, у нас нет достаточных данных для решения. Но AC нам дали, это 14. А значит \( S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BD \). \( S = 7 BD \). Площадь треугольника ABC можно найти как \( S = \frac{1}{2} AC * h \), где h = высота проведенная к AC. h=BD. AC = AD + DC = 6 + 8 = 14. Увы, в условии нет значения высоты BD. Без высоты BD мы не найдем площадь треугольника ABC. Ответ: Невозможно вычислить без знания высоты BD. Но если бы была дана высота BD, то площадь треугольника была бы \( S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot BD \). Высоту, проведенную к стороне BC, тоже не возможно найти без дополнительных данных.