31. Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 8 раз больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Пусть наименьший угол равен \(a\) градусов. Наибольший тогда равен \(8a\), а средний — \(360-9a\), поскольку сумма трёх углов вокруг точки равна 360°.

Чтобы средний угол был строго между наименьшим и наибольшим, нужно \(a<360-9a<8a\). Первое неравенство даёт \(a<36\), второе — \(a>\frac{360}{17}\). Для целого \(a\) это означает \(22\le a\le35\). Получается 14 различных целых значений среднего угла: \(360-9a\) при этих значениях \(a\).

Ответ: 14 значений.