314. а) $\cos^2 2x+5\cos 2x=2\sin^2 2x$; б) $\sin^2\frac{x}{2}-5\sin\frac{x}{2}=2\cos^2\frac{x}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 314. а) $\cos^2 2x+5\cos 2x=2\sin^2 2x$; б) $\sin^2\frac{x}{2}-5\sin\frac{x}{2}=2\cos^2\frac{x}{2}$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Используем $\sin^2 2x=1-\cos^2 2x$:

$\cos^2 2x+5\cos 2x=2(1-\cos^2 2x)$, поэтому $3\cos^2 2x+5\cos 2x-2=0$.

Пусть $t=\cos 2x$. Тогда $(3t-1)(t+2)=0$. Корень $t=-2$ невозможен, так как $|\cos 2x|\le1$. Значит, $\cos 2x=\frac13$.

б) Пусть $s=\sin\frac{x}{2}$, тогда $\cos^2\frac{x}{2}=1-s^2$:

$s^2-5s=2(1-s^2)$, откуда $(3s+1)(s-2)=0$. Корень $s=2$ невозможен, поэтому $\sin\frac{x}{2}=-1$.

Ответ: а) $x=\pm\frac12\arccos\frac13+\pi k$; б) $x=-\pi+4\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

314. а) \(\cos^2 2x+5\cos 2x=2\sin^2 2x\); б) \(\sin^2\frac{x}{2}-5\sin\frac{x}{2}=2\cos^2\frac{x}{2}\).