319. а) \(\operatorname{tg}(2(x+\pi))+4=5\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)\); б) \(\operatorname{ctg}\frac{5\pi-x}{2}+2\operatorname{ctg}\left(\pi-\frac{x}{2}\right)=1\).

а) По периодичности тангенса \(\operatorname{tg}(2(x+\pi))=\operatorname{tg}2x\), а \(\operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)=\operatorname{ctg}2x\). Положим \(t=\operatorname{tg}2x\), где \(t\ne0\). Тогда \(t+4=\frac5t\), откуда \((t-1)(t+5)=0\). Следовательно, \(\operatorname{tg}2x=1\) или \(\operatorname{tg}2x=-5\).

б) Обозначим \(y=\frac{x}{2}\). Используя формулы приведения, получаем \(\operatorname{ctg}\left(\frac{5\pi}{2}-y\right)=\operatorname{tg}y\), \(\operatorname{ctg}(\pi-y)=-\operatorname{ctg}y\). Пусть \(t=\operatorname{tg}y\), причём \(t\ne0\). Тогда \(t-\frac2t=1\), то есть \((t-2)(t+1)=0\).

Ответ: а) \(x=\frac\pi8+\frac{\pi k}{2}\) или \(x=-\frac12\arctan 5+\frac{\pi k}{2}\); б) \(x=2\arctan 2+2\pi k\) или \(x=-\frac\pi2+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).