316. а) \(2\cos^2 5x-1=\sin 5x\); б) \(3\sin\frac{x}{4}+3=2\cos^2\frac{x}{4}\).

а) Обозначим \(s=\sin 5x\), тогда \(\cos^2 5x=1-s^2\):

\(2(1-s^2)-1=s\), откуда \((2s-1)(s+1)=0\). Поэтому \(\sin 5x=\frac12\) или \(\sin 5x=-1\).

Из первого уравнения получаем \(x=\frac\pi{30}+\frac{2\pi k}{5}\) или \(x=\frac\pi6+\frac{2\pi k}{5}\); из второго — \(x=\frac{3\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}\).

б) Пусть \(s=\sin\frac{x}{4}\), тогда \(\cos^2\frac{x}{4}=1-s^2\):

\(3s+3=2(1-s^2)\), поэтому \((2s+1)(s+1)=0\). Значит, \(\sin\frac{x}{4}=-\frac12\) или \(\sin\frac{x}{4}=-1\).

Ответ: а) \(x=\frac\pi{30}+\frac{2\pi k}{5}\), \(\frac\pi6+\frac{2\pi k}{5}\) или \(\frac{3\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}\); б) \(x=-\frac{2\pi}{3}+8\pi k\), \(\frac{14\pi}{3}+8\pi k\) или \(-2\pi+8\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).