315. а) \(2\cos^2\frac{x}{3}+3\sin\frac{x}{3}=0\); б) \(2\sin^2 3x-5\cos 3x-4=0\).

а) Обозначим \(s=\sin\frac{x}{3}\) и воспользуемся равенством \(\cos^2\frac{x}{3}=1-s^2\):

\(2(1-s^2)+3s=0\), то есть \((2s+1)(s-2)=0\). Значение \(s=2\) невозможно, поэтому \(\sin\frac{x}{3}=-\frac12\).

Отсюда \(\frac{x}{3}=-\frac\pi6+2\pi k\) или \(\frac{x}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\).

б) Положим \(c=\cos 3x\), используя \(\sin^2 3x=1-c^2\):

\(2(1-c^2)-5c-4=0\), значит \((2c+1)(c+2)=0\). Корень \(c=-2\) невозможен, следовательно, \(\cos 3x=-\frac12\).

Ответ: а) \(x=-\frac\pi2+6\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k\); б) \(x=\pm\frac{2\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\), \(k\in\mathbb Z\).