317 В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Дано:

• Количество девушек = Количество юношей. Обозначим это количество как oldmath$$n$$.
• Средний рост девушек: oldmath$$\mu_д = 166.3$$ см
• Дисперсия роста девушек: oldmath$$D_д = 8.5$$ см²
• Средний рост юношей: oldmath$$\mu_ю = 177.6$$ см
• Дисперсия роста юношей: oldmath$$D_ю = 9.6$$ см²

Найти:

• Средний рост всех учеников (oldmath$$\mu_{\text{общ}}$$)
• Дисперсию роста всех учеников (oldmath$$D_{\text{общ}}$$)

Решение:

1. Находим общий средний рост:

Так как количество юношей и девушек одинаково (oldmath$$n$$), общий средний рост будет средним арифметическим их средних ростов:

\[ \mu_{\text{общ}} = \frac{\mu_д \times n + \mu_ю \times n}{n + n} = \frac{n(\mu_д + \mu_ю)}{2n} = \frac{\mu_д + \mu_ю}{2} \]\[ \mu_{\text{общ}} = \frac{166.3 + 177.6}{2} = \frac{343.9}{2} = 171.95 \]

Округляем до десятых: oldmath$$172.0$$ см.

2. Находим общую дисперсию:

Для нахождения общей дисперсии мы можем использовать формулу для дисперсии суммы независимых случайных величин. Если мы предположим, что рост юношей и девушек можно рассматривать как случайные величины, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий (при условии, что средние уже учтены).

Общая дисперсия — это средневзвешенное значение дисперсий двух групп. Поскольку группы равны по размеру, веса равны.

Формула для общей дисперсии, когда группы равны по размеру:

\[ D_{\text{общ}} = \frac{D_д + D_ю}{2} \]

Однако, более точный расчет дисперсии для объединенного набора данных учитывает разницу между средними:

\[ D_{\text{общ}} = \frac{n \times D_д + n \times D_ю + n(\mu_д - \mu_{\text{общ}})^2 + n(\mu_ю - \mu_{\text{общ}})^2}{2n} \]\[ D_{\text{общ}} = \frac{D_д + D_ю}{2} + \frac{(\mu_д - \mu_{\text{общ}})^2 + (\mu_ю - \mu_{\text{общ}})^2}{2} \]

Подставим значения:

\[ D_{\text{общ}} = \frac{8.5 + 9.6}{2} + \frac{(166.3 - 171.95)^2 + (177.6 - 171.95)^2}{2} \]\[ D_{\text{общ}} = \frac{18.1}{2} + \frac{(-5.65)^2 + (5.65)^2}{2} \]\[ D_{\text{общ}} = 9.05 + \frac{31.9225 + 31.9225}{2} \]\[ D_{\text{общ}} = 9.05 + \frac{63.845}{2} \]\[ D_{\text{общ}} = 9.05 + 31.9225 = 40.9725 \]

Округляем до сотых: oldmath$$40.97$$ см².

Ответ: Средний рост всех учеников — 172.0 см, а дисперсия роста — 40.97 см².