32.4. Укажите хотя бы одно значение параметра a, при котором уравнение 3x² + ax + 6 = 0: а) оба корня целые, но не натуральные числа; б) оба корня рациональные, но только один из них — целое число; в) оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения a, при которых действительных корней нет.

а) По формулам Виета произведение корней равно \(2\). Возьмём корни \(-1\) и \(-2\); тогда их сумма \(-3\), значит, \(-\frac a3=-3\) и \(a=9\). Получаем \(3x^2+9x+6=0=3(x+1)(x+2)\). Оба корня целые и отрицательные.

б) Возьмём корни \(1\) и \(2\). Их произведение равно \(2\), как требуется, а сумма равна \(3\). Поэтому \(-\frac a3=3\), то есть \(a=-9\). Корни целые, следовательно, рациональные, но здесь оба целые. Чтобы ровно один корень был целым, выберем корни \(\frac12\) и \(4\): их произведение \(2\), сумма \(\frac92\), поэтому \(a=-\frac{27}{2}\). Тогда ровно один корень целый.

в) При \(a=0\) уравнение становится \(3x^2+6=0\), у него нет действительных корней, поэтому это не подходит. Возьмём \(a=\sqrt{72}\): дискриминант \(D=a^2-72=0\), корень кратный и равен \(-\frac{a}{6}=-\sqrt2\), то есть не подходит, поскольку он повторный. Вместо этого возьмём \(a=\sqrt{80}\). Тогда \(D=8\), и корни \(\frac{-\sqrt{80}\pm\sqrt8}{6}=\frac{-2\sqrt5\pm\sqrt2}{3}\). Оба действительные и иррациональные.

г) Дискриминант \(D=a^2-72\). Действительных корней нет при \(a^2-72<0\), то есть \(-6\sqrt2<a<6\sqrt2\).