32.6. Вычислите: а) (−i)³; б) (−2i)⁵; в) −i²² − (−i)²²; г) i³ + i⁵ + i⁷ + … + i²⁰⁰⁵.

Используем равенства \(i^2=-1\) и \(i^4=1\).

а) \((-i)^3=(-i)^2(-i)=(-1)(-i)=i\).

б) \((-2i)^5=(-2)^5i^5=-32i\).

в) \(-i^{22}-(-i)^{22}=-(-1)-1=0\), так как \(i^{22}=-1\), а чётная степень \((-i)^{22}=i^{22}=-1\).

г) В сумме нечётные показатели идут от 3 до 2005 включительно. Всего \((2005-3)/2+1=1002\) слагаемых. По периодичности степени: \(i^3=-i\), \(i^5=i\); пары \((-i)+i\) сокращаются. Поскольку слагаемых чётное число, вся сумма равна 0.

Ответ: а) \(i\); б) \(-32i\); в) \(0\); г) \(0\).