32. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁. На сторонах AB и A₁B₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠A₁C₁D₁. Докажите, что △BCD = △B₁C₁D₁.

Сначала рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁. По двум сторонам и углу между ними они равны, поскольку \(AB = A₁B₁\), \(BC = B₁C₁\) и \(\angle B = \angle B₁\). Поэтому \(\angle ACB = \angle A₁C₁B₁\).

По условию \(\angle ACD = \angle A₁C₁D₁\). Вычитая равные углы из равных углов, получаем \(\angle BCD = \angle B₁C₁D₁\). Так как D лежит на AB, а D₁ — на A₁B₁, также \(\angle CBD = \angle B = \angle B₁ = \angle C₁B₁D₁\).

Стороны \(BC\) и \(B₁C₁\) равны по условию и заключены между равными углами. Следовательно, треугольники BCD и B₁C₁D₁ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.