№33 Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Решение:

При подбрасывании монеты есть два равновероятных исхода: орел или решка. Вероятность выпадения орла (выигрыш жребия) равна 0.5, и вероятность выпадения решки (проигрыш жребия) также равна 0.5.

Команда «Физик» играет три матча. Мы хотим найти вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно два раза из трех.

Это задача на биномиальное распределение. Формула биномиальной вероятности:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:

• n = общее количество испытаний (матчей) = 3
• k = количество успешных исходов (выигрышей жребия) = 2
• p = вероятность успеха в одном испытании (выиграть жребий) = 0.5
• (1-p) = вероятность неудачи в одном испытании (проиграть жребий) = 0.5
• C_n^k = число сочетаний из n по k, рассчитывается как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

1. Рассчитаем число сочетаний C_3^2:

\[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3 \]

Это означает, что есть 3 возможных сценария, при которых «Физик» выигрывает жребий ровно два раза:

• Выигрыш, Выигрыш, Проигрыш (ВВП)
• Выигрыш, Проигрыш, Выигрыш (ВПВ)
• Проигрыш, Выигрыш, Выигрыш (ПВВ)

2. Рассчитаем вероятность для каждого сценария:

Вероятность каждого конкретного сценария (например, ВВП) равна:

\[ P(\text{ВВП}) = p \cdot p \cdot (1-p) = 0.5 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.125 \]

Так как вероятность каждого из трех сценариев одинакова (0.125), общая вероятность того, что «Физик» выиграет жребий ровно два раза, будет суммой вероятностей этих сценариев или числом сочетаний, умноженным на вероятность одного сценария.

3. Рассчитаем общую вероятность:

\[ P(X=2) = C_3^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} \]

\[ P(X=2) = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 \]

\[ P(X=2) = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 \]

\[ P(X=2) = 3 \cdot 0.125 \]

\[ P(X=2) = 0.375 \]

Финальный ответ:

Ответ: 0.375