337. а) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 38°. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. 6) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 56°. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. в) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 18". Найдите тупой угол между диагоналями этого прямоугольника. г) Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 31". Найдите тупой угол между диагоналями этого прямоугольника.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому все четыре отрезка, на которые диагонали делятся, равны. Это означает, что треугольники, образованные диагоналями и сторонами, равнобедренные.

Пусть диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим прямоугольник ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда AO = BO = CO = DO.

а) Пусть диагональ AC образует с стороной AB угол 38°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол BAC = 38°. Тогда угол BCA = 90° - 38° = 52°. В треугольнике AOB, AO = BO, поэтому он равнобедренный. Угол OAB = 38°. Угол OBA = 38°. Угол AOB = 180° - (38° + 38°) = 180° - 76° = 104°. Это тупой угол. Острый угол между диагоналями будет равен 180° - 104° = 76°. В условии сказано «угол между диагоналями», обычно это острый угол, но если в других пунктах просят тупой, то нужно быть внимательным. Здесь, скорее всего, имеется в виду острый угол, который равен 180° - 104° = 76°. Однако, если вопрос о любом из углов, то 104° тоже подходит. Будем считать, что в пунктах а) и б) ищется острый угол, а в в) и г) — тупой, как указано.

а) Угол между диагоналями: 180° - (38° + 38°) = 104° (тупой). Острый угол: 180° - 104° = 76°.

б) Угол между диагоналями: 180° - (56° + 56°) = 180° - 112° = 68°. (острый)

в) Угол между диагоналями: 180° - (18° + 18°) = 180° - 36° = 144°. (тупой)

г) Угол между диагоналями: 180° - (31° + 31°) = 180° - 62° = 118°. (тупой)

Ответ: а) 76° (острый) или 104° (тупой); б) 68°; в) 144°; г) 118°.