340. а) Диагональ К№ параллелограмма KPNR в два раза больше его стороны KR. Найдите угол между диагоналями параллелограм- ма, если ZOKR=42°. M 0 P K R P D N 6) Диагональ К№ параллелограмма KPNR в два раза больше его стороны РУ. Найдите тупой угол между диагоналями параллелограмма, если ZPNO=34°.

Решение:

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

а) В параллелограмме KPNR, KN = 2 * KR. Пусть KR = x, тогда KN = 2x. Так как диагонали делятся пополам, то KO = ON = KN/2 = 2x/2 = x. Значит, KO = ON = KR = x. Это означает, что треугольник KOR равнобедренный (KO = KR). Угол KOR = 42°.

В треугольнике KOR, углы OKR и ORK равны. Угол OKR = ORK = (180° - 42°)/2 = 138°/2 = 69°.

Так как KPNR — параллелограмм, то угол RKN = угол RKN. Угол RKP = 69°.

Углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, в сумме дают 180°. Угол K + Угол R = 180°. Угол K = Угол RKN + Угол RKP. Угол K = Угол RKN + 69°.

Рассмотрим треугольник KOR. Угол OKR = 69°. Угол KOR = 42°. Угол ORK = 69°.

Угол между диагоналями — это углы KOR или PON (равны 42°) и угол KOP или RON. Угол KOP = 180° - 42° = 138°.

б) В параллелограмме KPNR, KN = 2 * PY. Пусть PY = x, тогда KN = 2x. KO = ON = KN/2 = x. В треугольнике PNO, ON = x. Угол PNO = 34°.

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит PY = KR. Так как KN = 2 * PY, то KN = 2 * KR. Следовательно, KO = ON = KR. Это означает, что треугольник PNO равнобедренный (ON = PY, но PY = KR, и KN = 2KR, KO = ON = KR. Значит, ON = KO = KR).

В равнобедренном треугольнике PNO, ON = KO. Угол PNO = 34°. Угол NPO = 34°. Угол PON = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.

Угол между диагоналями — это углы PON и KOP. Угол PON = 112°. Это тупой угол.

Ответ: а) 42° или 138°; б) 112°.