34. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение:

Всего в классе 21 человек. Класс делят на 7 групп по 3 человека.

Способ 1: Через количество способов.

1. Общее число способов разделить класс на группы: Это сложная комбинаторная задача. Проще подойти по-другому.
2. Рассмотрим Аню. Аня попадает в какую-то группу. В этой группе всего 3 места.
3. Сколько осталось мест в группе Ани? Осталось 3 - 1 = 2 места.
4. Сколько всего человек осталось в классе, кроме Ани? Осталось 21 - 1 = 20 человек.
5. Какова вероятность, что Нина попадет в одну группу с Аней? Нина должна занять одно из 2 оставшихся мест в группе Ани.
6. Вероятность:

$$ P = \frac{\text{Число мест в группе Ани (кроме Ани)}}{\text{Общее число оставшихся человек}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} $$

Способ 2: Через выбор нины.

1. Выберем Аню. Она находится в какой-то группе.

2. Теперь выберем Нину. Всего в классе 21 человек. Любой из этих 21 человека может оказаться Ниной.

3. Сколько всего пар можно составить из 21 человека? Это число сочетаний из 21 по 2:

$$ C_{21}^2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210 $$

4. Сколько всего пар может быть образовано внутри одной группы? В каждой группе по 3 человека. Число пар внутри одной группы:

$$ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 $$

5. Сколько всего таких групп? 7 групп.

6. Сколько всего пар может быть образовано внутри всех групп?

$$ 7 \times 3 = 21 $$

7. Вероятность, что Аня и Нина окажутся в одной группе:

$$ P = \frac{\text{Число пар внутри групп}}{\text{Общее число пар}} = \frac{21}{210} = \frac{1}{10} $$

Ответ: $$ \frac{1}{10} $$