3.4. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция с острым углом 60°; боковая сторона и меньшая из параллельных сторон трапеции равны 4 см; диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30°. Вычислите объем призмы.

Задача 3.4: 1. **Анализ задачи:** - Основание призмы - равнобедренная трапеция. - Острый угол трапеции (α) = 60°. - Боковая сторона (b) = 4 см. - Меньшее основание (a) = 4 см. - Диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол 30°. - Необходимо найти объем призмы (V). 2. **Нахождение большего основания трапеции (c):** - В равнобедренной трапеции можно провести высоты из концов меньшего основания на большее основание. Получатся два прямоугольных треугольника. - Нижнее основание больше меньшего на 2 * проекцию боковой стороны на нижнее основание - Длина проекции (x) = 4 * cos(60°) = 4 * 0.5 = 2 - Тогда большее основание (c) = 4 + 2 * 2 = 8 см 3. **Нахождение высоты трапеции (h_т):** - h_т = 4 * sin(60°) = 4 * ( \frac{\sqrt{3}}{2} ) = (2\sqrt{3}) см 4. **Площадь трапеции (S):** - (S = \frac{a+c}{2} * h_т) - (S = \frac{4+8}{2} * 2\sqrt{3}) - (S = 12\sqrt{3}) см² 5. **Нахождение высоты призмы (h_п):** - Пусть d - диагональ призмы. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания равен 30°. - Проекция диагонали на плоскость основания это диагональ трапеции. - Пусть диагональ трапеции (d_т). - Для нахождения диагонали трапеции необходимо найти проекцию боковой стороны на большее основание, которая равна 2 см (см пункт 2) - Диагональ трапеции в квадрате = (h_т^2 + (4+2)^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 = 12+36=48) - Диагональ трапеции (d_т) = (\sqrt{48} = 4\sqrt{3}) - (tan(30^\circ) = \frac{h_п}{d_т}) - (h_п = d_т * tan(30^\circ)) - (h_п = 4\sqrt{3} * \frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 - высота призмы (h_п) = 4 см 6. **Объем призмы (V):** - (V = S * h_п) - (V = 12\sqrt{3} * 4) - (V = 48\sqrt{3}) см³ **Ответ:** Объем призмы равен (48\sqrt{3}) см³.