3.5. Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол 45°, а диагональ боковой грани — угол 60°. Высота прямоугольного параллелепипеда равна 8 см. Найдите его объем.

Задача 3.5: 1. **Анализ задачи:** - Прямоугольный параллелепипед. - Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. - Диагональ боковой грани образует угол 60° с основанием. - Высота параллелепипеда (c) = 8 см. - Необходимо найти объем параллелепипеда (V). 2. **Определим параметры:** - Пусть a и b - стороны основания, а c - высота. - Диагональ параллелепипеда (d) образует угол 45° с плоскостью основания. - Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ основания (d_осн). - Тангенс угла между диагональю и основанием: tan(45°) = c / d_осн. Так как tan(45°) = 1, то d_осн = c, и значит d_осн = 8 см. 3. **Диагональ основания:** - (d_{осн}^2 = a^2 + b^2) - (8^2 = a^2 + b^2) - (a^2 + b^2 = 64) 4. **Боковая грань:** - Угол между диагональю боковой грани и основанием равен 60 градусам. - Рассмотрим боковую грань, где сторона a - сторона основания, и высота равна c=8. - Диагональ боковой грани (d_бок) - (tan(60^\circ) = \frac{c}{a}) - (\sqrt{3} = \frac{8}{a}) - (a = \frac{8}{\sqrt{3}}) см 5. **Нахождение b:** - (a^2 + b^2 = 64) - (( \frac{8}{\sqrt{3}} )^2 + b^2 = 64) - ( \frac{64}{3} + b^2 = 64) - (b^2 = 64 - \frac{64}{3} = \frac{192 - 64}{3} = \frac{128}{3}) - (b = \sqrt{\frac{128}{3}} = 8\sqrt{\frac{2}{3}}) 6. **Объем параллелепипеда (V):** - (V = a * b * c) - (V = \frac{8}{\sqrt{3}} * 8\sqrt{\frac{2}{3}} * 8) - (V = \frac{8*8*8}{\sqrt{3}} * \sqrt{\frac{2}{3}} ) - (V = \frac{512}{\sqrt{3}} * \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{512\sqrt{2}}{3}) см³ **Ответ:** Объем параллелепипеда равен (\frac{512\sqrt{2}}{3}) см³.