35. Верно ли, что дробь \( \frac{a+2 \cdot a + 5 \cdot a + 7 \cdot a}{835 \cdot 245} \) сократима любом значении а?

Решение:

Рассмотрим числитель дроби: \( a + 2a + 5a + 7a = (1 + 2 + 5 + 7)a = 15a \).

Дробь имеет вид: \( \frac{15a}{835 \cdot 245} \).

Числитель \( 15a \) делится на 15. Знаменатель \( 835 \cdot 245 \) делится на 5 (так как 835 оканчивается на 5 и 245 оканчивается на 5). Проверим, делится ли знаменатель на 3. Сумма цифр числа 835 равна \( 8+3+5 = 16 \), что не делится на 3. Сумма цифр числа 245 равна \( 2+4+5 = 11 \), что не делится на 3. Значит, знаменатель не делится на 3.

Однако, если \( a \) кратно 5, то числитель будет делиться на 5. Если \( a \) кратно 3, то числитель будет делиться на 3. Если \( a \) кратно 15, то числитель будет делиться на 15.

Дробь будет сократима, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, отличный от 1. Знаменатель \( 835 \cdot 245 \) имеет простые множители, среди которых есть 5. Числитель \( 15a \) всегда имеет множитель 5 (если \( a \) не равно 0).

Если \( a \) не равно 0, то дробь \( \frac{15a}{835 \cdot 245} \) всегда делима на 5. Следовательно, дробь сократима.

Ответ: Да, верно.