355. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a. Постройте на прямой a такую точку M, чтобы сумма AM + MB имела наименьшее значение, т. е. была бы меньше суммы AX + XB, где X — любая точка прямой a.

Отразим точку B относительно прямой a и получим точку B′.

1. Построим симметричную B′ точку: прямая a должна быть серединным перпендикуляром к отрезку BB′.
2. Соединим A и B′.
3. Точку пересечения прямых AB′ и a обозначим M.

Так как M лежит на оси симметрии, то MB = MB′. Поэтому для любой точки X на прямой a:

\(AM+MB=AM+MB′=AB′\), а \(AX+XB=AX+XB′\ge AB′\) по неравенству треугольника.

Ответ: точка M — пересечение прямой a с отрезком AB′.