358. Докажите, что если a > 1, то √(a + a/(a² − 1)) = a√(a/(a² − 1)). Из выражений √(3 3/8); √(4 4/15); √(5 5/26); √(6 6/35); √(7 7/50); √(8 8/23) выберите те, которые можно преобразовать, используя это тождество, и выполните преобразование.

Так как \(a>1\), величины под корнями неотрицательны. Преобразуем подкоренное выражение:

\[a+\frac{a}{a^2-1}=\frac{a(a^2-1)+a}{a^2-1}=\frac{a^3}{a^2-1}=a^2\cdot\frac{a}{a^2-1}.\]

Поскольку \(a>0\), получаем \(\sqrt{a^2\cdot\frac{a}{a^2-1}}=a\sqrt{\frac{a}{a^2-1}}\). Тождество доказано.

Для смешанного числа \(a\ \frac{m}{n}\) условие применения имеет вид \(\frac{m}{n}=\frac{a}{a^2-1}\). Оно выполняется для первых четырёх выражений:

1. \(\sqrt{3\frac38}=3\sqrt{\frac38}\), поскольку \(\frac{3}{3^2-1}=\frac38\).
2. \(\sqrt{4\frac4{15}}=4\sqrt{\frac4{15}}\), поскольку \(\frac{4}{4^2-1}=\frac4{15}\).
3. \(\sqrt{5\frac5{26}}=5\sqrt{\frac5{26}}\), поскольку \(\frac{5}{5^2-1}=\frac5{24}\). Поправка: для указанного выражения равенство не выполняется: \(\frac5{26}\ne\frac5{24}\), поэтому тождество к нему неприменимо.
4. \(\sqrt{6\frac6{35}}=6\sqrt{\frac6{35}}\), поскольку \(\frac{6}{6^2-1}=\frac6{35}\).

Для второго выражения также проверка даёт \(\frac4{4^2-1}=\frac4{15}\); для третьего правильное отношение равно \(\frac5{24}\), а не \(\frac5{26}\). Последние два выражения не подходят: при \(a=7\) нужно \(\frac7{48}\), а при \(a=8\) — \(\frac8{63}\).

Итак, преобразуются выражения с \(a=3,4,6\): \(\sqrt{3\frac38}=3\sqrt{\frac38}\), \(\sqrt{4\frac4{15}}=4\sqrt{\frac4{15}}\), \(\sqrt{6\frac6{35}}=6\sqrt{\frac6{35}}\).