359. Решить неравенства: 1) $\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$; 2) $\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$; 3) $\lg(3x-4)<\lg(2x+1)$; 4) $\log_{1/2}(2x+3)>\log_{1/2}(x+1)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 359. Решить неравенства: 1) $\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$; 2) $\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Так как основание больше 1, аргумент должен быть больше 1. Знаменатель положителен:

$\frac{3x-2}{x^2+1}>1\iff x^2-3x+3<0$.

Дискриминант квадратного трёхчлена равен $9-12=-3<0$, а старший коэффициент положителен, поэтому неравенство решений не имеет.

2) Для основания $0<\frac12<1$ условие $\log_{1/2}A<0$ равносильно $A>1$. Область определения: $x>7$. На ней:

$\frac{2x^2+3}{x-7}>1\iff 2x^2-x+10>0$.

Этот трёхчлен положителен при всех $x$, поскольку его дискриминант отрицателен. Ответ задаётся областью определения: $x\in(7;+\infty)$.

3) Область определения: $x>\frac43$. Логарифм возрастает, поэтому $3x-4<2x+1$, откуда $x<5$. Пересечение условий: $x\in(\frac43;5)$.

4) Область определения: $x>-1$. Логарифм с основанием $\frac12$ убывает, поэтому неравенство равносильно \(2x+3

Ответ: 1) решений нет; 2) $(7;+\infty)$; 3) $(\frac43;5)$; 4) решений нет.

359. Решить неравенства: 1) \(\log_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0\); 2) \(\log_{1/2}\frac{2x^2+3}{x-7}<0\); 3) \(\lg(3x-4)<\lg(2x+1)\); 4) \(\log_{1/2}(2x+3)>\log_{1/2}(x+1)\).