363. Решить неравенства: 1) $\log_{0{,}2}x-\log_5(x-2)<\log_{0{,}2}3$; 2) $\lg x-\log_{0{,}1}(x-1)>\log_{0{,}1}0{,}5$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 363. Решить неравенства: 1) $\log_{0{,}2}x-\log_5(x-2)<\log_{0{,}2}3$; 2) $\lg x-\log_{0{,}1}(x-1)>\log_{0{,}1}0{,}5$.$ Фото задания

363. Решить неравенства: 1) $\log_{0{,}2}x-\log_5(x-2)<\log_{0{,}2}3$; 2) $\lg x-\log_{0{,}1}(x-1)>\log_{0{,}1}0{,}5$.

Accepted Answer

1) Область определения: $x>2$. Так как $\log_5(x-2)=-\log_{0.2}(x-2)$, левая часть равна $\log_{0.2}(x(x-2))$. Основание $0.2<1$, поэтому знак меняется при переходе к аргументам:

$x(x-2)>3\iff(x-3)(x+1)>0$.

С учётом $x>2$ получаем $x>3$.

2) Область определения: $x>1$. Поскольку $\lg x=-\log_{0.1}x$, левая часть равна $\log_{0.1}\frac1{x(x-1)}$. Основание меньше 1, поэтому

$\frac1{x(x-1)}<0.5\iff x(x-1)>2\iff(x-2)(x+1)>0$.

С учётом области определения ответ: $x>2$.

Ответ: 1) $(3;+\infty)$; 2) $(2;+\infty)$.

363. Решить неравенства: 1) \(\log_{0{,}2}x-\log_5(x-2)<\log_{0{,}2}3\); 2) \(\lg x-\log_{0{,}1}(x-1)>\log_{0{,}1}0{,}5\).

Ответ: