365 Даны два набора чисел. Отметьте их на числовой прямой. Вычислите дисперсию каждого из этих наборов. Дисперсия какого набора больше? а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8.

Решение:

Набор а) 2, 3, 7 и 1, 2, 3

• Среднее арифметическое для первого набора: $$\bar{x}_1 = (2 + 3 + 7) / 3 = 12 / 3 = 4$$.
• Отклонения от среднего: $$2 - 4 = -2$$; $$3 - 4 = -1$$; $$7 - 4 = 3$$.
• Квадраты отклонений: $$(-2)^2 = 4$$; $$(-1)^2 = 1$$; $$3^2 = 9$$.
• Дисперсия первого набора: $$D_1 = (4 + 1 + 9) / 3 = 14 / 3 \approx 4.67$$.
• Среднее арифметическое для второго набора: $$\bar{x}_2 = (1 + 2 + 3) / 3 = 6 / 3 = 2$$.
• Отклонения от среднего: $$1 - 2 = -1$$; $$2 - 2 = 0$$; $$3 - 2 = 1$$.
• Квадраты отклонений: $$(-1)^2 = 1$$; $$0^2 = 0$$; $$1^2 = 1$$.
• Дисперсия второго набора: $$D_2 = (1 + 0 + 1) / 3 = 2 / 3 \approx 0.67$$.

Набор б) 2, 3, 4, 7 и 1, 5, 6, 8

• Среднее арифметическое для первого набора: $$\bar{x}_1 = (2 + 3 + 4 + 7) / 4 = 16 / 4 = 4$$.
• Отклонения от среднего: $$2 - 4 = -2$$; $$3 - 4 = -1$$; $$4 - 4 = 0$$; $$7 - 4 = 3$$.
• Квадраты отклонений: $$(-2)^2 = 4$$; $$(-1)^2 = 1$$; $$0^2 = 0$$; $$3^2 = 9$$.
• Дисперсия первого набора: $$D_1 = (4 + 1 + 0 + 9) / 4 = 14 / 4 = 3.5$$.
• Среднее арифметическое для второго набора: $$\bar{x}_2 = (1 + 5 + 6 + 8) / 4 = 20 / 4 = 5$$.
• Отклонения от среднего: $$1 - 5 = -4$$; $$5 - 5 = 0$$; $$6 - 5 = 1$$; $$8 - 5 = 3$$.
• Квадраты отклонений: $$(-4)^2 = 16$$; $$0^2 = 0$$; $$1^2 = 1$$; $$3^2 = 9$$.
• Дисперсия второго набора: $$D_2 = (16 + 0 + 1 + 9) / 4 = 26 / 4 = 6.5$$.

Сравнение дисперсий:

• Набор а): $$D_1 \approx 4.67$$, $$D_2 \approx 0.67$$. Дисперсия первого набора больше.
• Набор б): $$D_1 = 3.5$$, $$D_2 = 6.5$$. Дисперсия второго набора больше.

Ответ: В наборе а) дисперсия первого набора больше. В наборе б) дисперсия второго набора больше.