69 В классе поровну юношей и девушек. Средний рост девушек — 166,3 см, а дисперсия роста для девушек — 8,5 см². Средний рост юношей равен 177,6 см, а дисперсия равна 9,6 см². Найдите средний рост и дисперсию роста всех учеников в классе. Средний рост округлите до десятых, а дисперсию до сотых.

Решение:

Дано:

• Пусть $$N$$ — общее количество учеников в классе.
• Так как юношей и девушек поровну, то количество девушек ($$n_д$$) = $$N/2$$, и количество юношей ($$n_ю$$) = $$N/2$$.
• Средний рост девушек ($$ar{x}_д$$) = 166,3 см.
• Дисперсия роста девушек ($$D_д$$) = 8,5 см².
• Средний рост юношей ($$ar{x}_ю$$) = 177,6 см.
• Дисперсия роста юношей ($$D_ю$$) = 9,6 см².

Найти:

• Средний рост всех учеников ($$ar{x}_{всех}$$)
• Дисперсию роста всех учеников ($$D_{всех}$$)

1. Найдем общий средний рост ($$ar{x}_{всех}$$):

Средний рост всех учеников — это среднее арифметическое средних ростов девушек и юношей, так как их количество в классе одинаково.

• $$\bar{x}_{всех} = (\bar{x}_д + \bar{x}_ю) / 2$$
• $$\bar{x}_{всех} = (166.3 + 177.6) / 2$$
• $$\bar{x}_{всех} = 343.9 / 2 = 171.95$$

Округляем до десятых: $$\bar{x}_{всех} \approx 172.0$$ см.

2. Найдем дисперсию роста всех учеников ($$D_{всех}$$):

Дисперсия для смешанной группы вычисляется по формуле:

• $$D_{всех} = \frac{n_д \cdot D_д + n_ю \cdot D_ю}{n_д + n_ю} + \frac{n_д \cdot n_ю}{(n_д + n_ю)^2} \cdot (\bar{x}_ю - \bar{x}_д)^2$$

Так как $$n_д = n_ю = N/2$$, то $$n_д + n_ю = N$$ и $$n_д · n_ю = (N/2) · (N/2) = N^2/4$$.

• $$D_{всех} = \frac{(N/2) \cdot D_д + (N/2) \cdot D_ю}{N} + \frac{(N^2/4)}{N^2} \cdot (\bar{x}_ю - \bar{x}_д)^2$$
• $$D_{всех} = \frac{1}{2} D_д + \frac{1}{2} D_ю + \frac{1}{4} (\bar{x}_ю - \bar{x}_д)^2$$

Теперь подставим значения:

• $$\bar{x}_ю - \bar{x}_д = 177.6 - 166.3 = 11.3$$
• $$(\bar{x}_ю - \bar{x}_д)^2 = (11.3)^2 = 127.69$$
• $$D_{всех} = \frac{1}{2} · 8.5 + \frac{1}{2} · 9.6 + \frac{1}{4} · 127.69$$
• $$D_{всех} = 4.25 + 4.8 + 31.9225$$
• $$D_{всех} = 40.9725$$

Округляем до сотых: $$D_{всех} \approx 40.97$$ см².

Ответ: Средний рост всех учеников ≈ 172.0 см, дисперсия роста ≈ 40.97 см².