367 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов. а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Решение:

Набор а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8

• Первый набор (2, 3, 4):
• Среднее арифметическое: $$\bar{x}_1 = (2 + 3 + 4) / 3 = 9 / 3 = 3$$.
• Отклонения: $$2 - 3 = -1$$; $$3 - 3 = 0$$; $$4 - 3 = 1$$.
• Квадраты отклонений: $$(-1)^2 = 1$$; $$0^2 = 0$$; $$1^2 = 1$$.
• Дисперсия: $$D_1 = (1 + 0 + 1) / 3 = 2 / 3 \approx 0.67$$.
• Второй набор (6, 7, 8):
• Среднее арифметическое: $$\bar{x}_2 = (6 + 7 + 8) / 3 = 21 / 3 = 7$$.
• Отклонения: $$6 - 7 = -1$$; $$7 - 7 = 0$$; $$8 - 7 = 1$$.
• Квадраты отклонений: $$(-1)^2 = 1$$; $$0^2 = 0$$; $$1^2 = 1$$.
• Дисперсия: $$D_2 = (1 + 0 + 1) / 3 = 2 / 3 \approx 0.67$$.
• Глазомер: Значения в обоих наборах расположены плотно вокруг своего среднего. Рассеивание примерно одинаковое.
• Вывод: Дисперсии равны, что подтверждает одинаковое рассеивание.

Набор б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18

• Первый набор (3, 5, 7, 9):
• Среднее арифметическое: $$\bar{x}_1 = (3 + 5 + 7 + 9) / 4 = 24 / 4 = 6$$.
• Отклонения: $$3 - 6 = -3$$; $$5 - 6 = -1$$; $$7 - 6 = 1$$; $$9 - 6 = 3$$.
• Квадраты отклонений: $$(-3)^2 = 9$$; $$(-1)^2 = 1$$; $$1^2 = 1$$; $$3^2 = 9$$.
• Дисперсия: $$D_1 = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5$$.
• Второй набор (12, 14, 16, 18):
• Среднее арифметическое: $$\bar{x}_2 = (12 + 14 + 16 + 18) / 4 = 60 / 4 = 15$$.
• Отклонения: $$12 - 15 = -3$$; $$14 - 15 = -1$$; $$16 - 15 = 1$$; $$18 - 15 = 3$$.
• Квадраты отклонений: $$(-3)^2 = 9$$; $$(-1)^2 = 1$$; $$1^2 = 1$$; $$3^2 = 9$$.
• Дисперсия: $$D_2 = (9 + 1 + 1 + 9) / 4 = 20 / 4 = 5$$.
• Глазомер: Значения в обоих наборах расположены равномерно с одинаковым шагом. Рассеивание примерно одинаковое.
• Вывод: Дисперсии равны, что подтверждает одинаковое рассеивание.

Ответ: В обоих случаях дисперсии наборов оказались равны, что означает одинаковое рассеивание значений относительно среднего.