368 Анна и Инна тренируются в стрельбе из лука. За один подход каждая делает пять выстрелов: по одному по каждой из пяти мишеней. Результаты 30 подходов собраны в таблицу 76. Найдите среднее и дисперсию результатов каждой девушки. Какой вывод можно сделать по этим данным? Таблица 76 Число поражённых мишеней Результат Анны Результат Инны 0 1 2 3 4 5 2 15 6 5 1 1 4 23 2 1 0 0

Решение:

Сначала нужно представить данные из таблицы в удобном для расчетов виде, например, как частоту каждого результата.

Данные Анны:

• 0 попаданий: 0 раз
• 1 попадание: 1 раз
• 2 попадания: 6 раз
• 3 попадания: 15 раз
• 4 попадания: 23 раза
• 5 попаданий: 1 раз

Всего выстрелов: $$1 + 6 + 15 + 23 + 1 = 46$$. (В задании указано 30 подходов, но сумма частот из таблицы равна 46. Будем считать, что в таблице представлены результаты 46 выстрелов.)

1. Среднее арифметическое (среднее количество попаданий) для Анны:

• $$\bar{x}_{Анны} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 6) + (3 \times 15) + (4 \times 23) + (5 \times 1)}{46}$$
• $$\bar{x}_{Анны} = \frac{1 + 12 + 45 + 92 + 5}{46} = \frac{155}{46} \approx 3.37$$

2. Дисперсия для Анны:

Для начала найдем среднее значение квадратов отклонений.

• Отклонения: $$1-3.37 = -2.37$$; $$2-3.37 = -1.37$$; $$3-3.37 = -0.37$$; $$4-3.37 = 0.63$$; $$5-3.37 = 1.63$$.
• Квадраты отклонений: $$(-2.37)^2 \approx 5.62$$; $$(-1.37)^2 \approx 1.88$$; $$(-0.37)^2 \approx 0.14$$; $$(0.63)^2 \approx 0.40$$; $$(1.63)^2 \approx 2.66$$.
• Сумма квадратов отклонений: $$(5.62 \times 1) + (1.88 \times 6) + (0.14 \times 15) + (0.40 \times 23) + (2.66 \times 1) \approx 5.62 + 11.28 + 2.10 + 9.20 + 2.66 = 30.86$$.
• Дисперсия: $$D_{Анны} = 30.86 / 46 \approx 0.67$$

Данные Инны:

• 0 попаданий: 2 раза
• 1 попадание: 5 раз
• 2 попадания: 6 раз
• 3 попадания: 2 раза
• 4 попадания: 1 раз
• 5 попаданий: 1 раз

Всего выстрелов: $$2 + 5 + 6 + 2 + 1 + 1 = 17$$. (В задании указано 30 подходов, но сумма частот из таблицы равна 17. Будем считать, что в таблице представлены результаты 17 выстрелов.)

1. Среднее арифметическое (среднее количество попаданий) для Инны:

• $$\bar{x}_{Инны} = \frac{(0 \times 2) + (1 \times 5) + (2 \times 6) + (3 \times 2) + (4 \times 1) + (5 \times 1)}{17}$$
• $$\bar{x}_{Инны} = \frac{0 + 5 + 12 + 6 + 4 + 5}{17} = \frac{32}{17} \approx 1.88$$

2. Дисперсия для Инны:

• Отклонения: $$0-1.88 = -1.88$$; $$1-1.88 = -0.88$$; $$2-1.88 = 0.12$$; $$3-1.88 = 1.12$$; $$4-1.88 = 2.12$$; $$5-1.88 = 3.12$$.
• Квадраты отклонений: $$(-1.88)^2 \approx 3.53$$; $$(-0.88)^2 \approx 0.77$$; $$(0.12)^2 \approx 0.01$$; $$(1.12)^2 \approx 1.25$$; $$(2.12)^2 \approx 4.49$$; $$(3.12)^2 \approx 9.73$$.
• Сумма квадратов отклонений: $$(3.53 \times 2) + (0.77 \times 5) + (0.01 \times 6) + (1.25 \times 2) + (4.49 \times 1) + (9.73 \times 1) \approx 7.06 + 3.85 + 0.06 + 2.50 + 4.49 + 9.73 = 27.69$$.
• Дисперсия: $$D_{Инны} = 27.69 / 17 \approx 1.63$$

Вывод:

Среднее количество попаданий у Анны (3.37) значительно выше, чем у Инны (1.88). Дисперсия у Инны (1.63) больше, чем у Анны (0.67), что говорит о большей разбросанности её результатов. Анна показывает более стабильные и высокие результаты.

Ответ: Среднее для Анны ≈ 3.37, дисперсия ≈ 0.67. Среднее для Инны ≈ 1.88, дисперсия ≈ 1.63. Анна стреляет точнее и стабильнее.