37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения $\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$ не зависит от значения $a$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения…$ Фото задания

37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения $\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)$ не зависит от значения $a$.

Accepted Answer

Разложим сумму кубов: $a^3+27=(a+3)(a^2-3a+9)$. Обозначим $a^2-3a+9$ буквой $Q$. Тогда первая скобка равна

$\frac{1}{a+3}-\frac{27}{(a+3)Q}+\frac{9}{Q}=\frac{Q-27+9(a+3)}{(a+3)Q}=\frac{(a+3)^2}{(a+3)Q}=\frac{a+3}{Q}.$

Вторая скобка:

$a-\frac{6a-9}{a+3}=\frac{a(a+3)-(6a-9)}{a+3}=\frac{a^2-3a+9}{a+3}=\frac{Q}{a+3}.$

Следовательно, произведение равно $\frac{a+3}{Q}\cdot\frac{Q}{a+3}=1$. Выражение определено при $a\ne-3$; квадратный трёхчлен $a^2-3a+9$ действительных корней не имеет.

Ответ: значение выражения постоянно и равно 1.

37. Докажите, что при всех допустимых значениях \(a\) значение выражения \(\left(\frac{1}{a+3}-\frac{27}{a^3+27}+\frac{9}{a^2-3a+9}\right)\left(a-\frac{6a-9}{a+3}\right)\) не зависит от значения \(a\).

Ответ: