37. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AC=20\), а высота \(CH\), опущенная на гипотенузу, равна \(3\sqrt{39}\). Найдите \(\sin\angle ABC\).

Прямой угол находится при \(C\), поэтому \(AB\) — гипотенуза. Обозначим \(BC=x\). Площадь треугольника можно выразить через катеты и через гипотенузу с высотой к ней:

\(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\), откуда \(20x=3\sqrt{39}\sqrt{400+x^2}.\)

Возведём в квадрат:

\(400x^2=351(400+x^2)\),

\(49x^2=140400\), поэтому \(x=\frac{60\sqrt{39}}{7}.\)

По теореме Пифагора \(AB=\sqrt{400+x^2}=\frac{120\sqrt{39}}{7}.\)

Тогда \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{120\sqrt{39}/7}=\frac{7}{6\sqrt{39}}=\frac{7\sqrt{39}}{234}.\)

Ответ: \(\frac{7\sqrt{39}}{234}\).