39. Докажите, что: а) A⊆B равносильно B̄⊆Ā; б) A⊆B равносильно A\(\B\)̄ = ∅; в) A=B равносильно A△B = ∅.

1. а) Если A⊆B, то всякий элемент, не принадлежащий B, не принадлежит и A. Значит, B̄⊆Ā. Обратно, из B̄⊆Ā следует: если x∈A, то x∉Ā, следовательно, x∉B̄ и x∈B. Поэтому A⊆B.
2. б) A\(\B\)̄ = A∩B. Это множество пусто тогда и только тогда, когда A и B не имеют общих элементов, что не соответствует A⊆B в общем случае. Однако выражение на изображении — A\(\B\) (без черты над B): оно пусто тогда и только тогда, когда каждый элемент A принадлежит B, то есть A⊆B.
3. в) A△B = \(A\B\)∪\(B\A\). Это множество пусто тогда и только тогда, когда обе разности пусты: A⊆B и B⊆A. Следовательно, A=B.

Ответ: все три утверждения верны.