39. В классе 21 учащийся, среди них два друга - Дима и Сережа. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 7 равных групп. Найдите вероятность того, что Дима и Сережа окажутся в одной группе.

Решение:

Общее число учащихся - 21. Количество групп - 7. Размер каждой группы - 21 / 7 = 3 человека.

Способ 1:

Рассмотрим Диму. Он может попасть в любую из 7 групп. Когда Дима уже в какой-то группе, осталось 20 учеников. Для того чтобы Сережа оказался с Димой в одной группе, он должен попасть в одно из оставшихся 2 свободных мест в той же группе. Общее количество оставшихся мест для Сережи - 20. Таким образом, вероятность того, что Сережа окажется в той же группе, что и Дима, равна 2/20 = 1/10.

Способ 2:

Общее число способов выбрать 3 человека в первую группу из 21: C(21, 3). Затем 3 человека из оставшихся 18 во вторую группу: C(18, 3), и так далее. Общее число способов разбить 21 ученика на 7 групп по 3 человека равно \( \frac{C(21, 3) \cdot C(18, 3) \cdot ... \cdot C(3, 3)}{7!} \).

Число способов, при которых Дима и Сережа в одной группе: Сначала выбираем группу для Димы и Сережи (7 способов). Затем выбираем еще 1 человека для этой группы из оставшихся 19: C(19, 1). Остальных 18 учеников разбиваем на 6 групп по 3 человека: \( \frac{C(18, 3) \cdot ... \cdot C(3, 3)}{6!} \). Таким образом, число благоприятных исходов равно \( 7 \cdot C(19, 1) \cdot \frac{C(18, 3) \cdot ... \cdot C(3, 3)}{6!} \).

Вероятность = \( \frac{7 \cdot C(19, 1) \cdot \frac{C(18, 3) \cdot ... \cdot C(3, 3)}{6!}}{\frac{C(21, 3) \cdot C(18, 3) \cdot ... \cdot C(3, 3)}{7!}} \) = \( \frac{7 \cdot 19 \cdot 7!}{21!} \) = \( \frac{7 \cdot 19 \cdot 7 \cdot 6!}{21 · 20 · 19 · 6!} \) = \( \frac{7 \cdot 7}{21 · 20} \) = \( \frac{49}{420} \) = \( \frac{7}{60} \). Это неверно.

Вернемся к первому способу, он более интуитивный и правильный.

Ответ: 1/10