397. Вершины A и B прямоугольника ABCD лежат на окружности одного из оснований цилиндра, а вершины C и D — на окружности другого основания. Вычислите радиус цилиндра, если его образующая равна a, AB = a, а угол между прямой BC и плоскостью основания равен 60°.

Пусть \(x\) — длина горизонтальной проекции отрезка \(BC\). Вертикальная составляющая равна образующей цилиндра, то есть \(a\). Поэтому \(\tan 60^\circ=\frac{a}{x}\), откуда \(x=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Хорды \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны. Поскольку \(BC\) имеет ненулевую горизонтальную проекцию, эти хорды расположены по разные стороны от оси цилиндра. Если расстояние от оси до каждой хорды равно \(d\), то \(2d=x\), значит, \(d=\frac{a}{2\sqrt{3}}\).

Для хорды длины \(a\) и радиуса цилиндра \(R\) выполняется \(R^2=d^2+(a/2)^2\). Следовательно, \(R^2=\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{3}\), откуда \(R=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\frac{a}{\sqrt{3}}\).