4.1.3. Прямая y = 6x - 9 является касательной к графику функции y = x³ - x² + 6x - 9. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Касательная \( y = 6x - 9 \) к графику функции \( y = x^3 - x^2 + 6x - 9 \) означает, что в точке касания \( x_0 \) производная функции равна угловому коэффициенту касательной.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 - x^2 + 6x - 9 \): \( y' = (x^3 - x^2 + 6x - 9)' = 3x^2 - 2x + 6 \).
2. Угловой коэффициент касательной \( y = 6x - 9 \) равен 6.
3. Приравняем производную к угловому коэффициенту: \( 3x^2 - 2x + 6 = 6 \).
4. Решим полученное уравнение: \( 3x^2 - 2x = 0 \) \( x(3x - 2) = 0 \).
5. Получаем два возможных значения абсциссы: \( x = 0 \) или \( 3x - 2 = 0 \) \( 3x = 2 \) \( x = \frac{2}{3} \).
6. Проверим, совпадает ли значение функции и касательной в этих точках.
7. При \( x = 0 \): \( y_{функции} = 0^3 - 0^2 + 6(0) - 9 = -9 \). \( y_{касательной} = 6(0) - 9 = -9 \). Значения совпадают.
8. При \( x = \frac{2}{3} \): \( y_{функции} = (\frac{2}{3})^3 - (\frac{2}{3})^2 + 6(\frac{2}{3}) - 9 = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + 4 - 9 = \frac{8 - 12}{27} - 5 = -\frac{4}{27} - 5 = -\frac{4 + 135}{27} = -\frac{139}{27} \). \( y_{касательной} = 6(\frac{2}{3}) - 9 = 4 - 9 = -5 \). Значения не совпадают.

Ответ: 0