4.1.4. Прямая y = 3x - 2 является касательной к графику функции y = x³ - 5x² + 6x + 7. Найдите абсциссу точки касания.

Решение:

Касательная \( y = 3x - 2 \) к графику функции \( y = x^3 - 5x^2 + 6x + 7 \) означает, что в точке касания \( x_0 \) производная функции равна угловому коэффициенту касательной.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 - 5x^2 + 6x + 7 \): \( y' = (x^3 - 5x^2 + 6x + 7)' = 3x^2 - 10x + 6 \).
2. Угловой коэффициент касательной \( y = 3x - 2 \) равен 3.
3. Приравняем производную к угловому коэффициенту: \( 3x^2 - 10x + 6 = 3 \).
4. Решим полученное уравнение: \( 3x^2 - 10x + 3 = 0 \).
5. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 \).
6. Найдём корни: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \) \( x_1 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3 \). \( x_2 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
7. Проверим, совпадают ли значения функции и касательной в этих точках.
8. При \( x = 3 \): \( y_{функции} = 3^3 - 5(3^2) + 6(3) + 7 = 27 - 5(9) + 18 + 7 = 27 - 45 + 18 + 7 = 7 \). \( y_{касательной} = 3(3) - 2 = 9 - 2 = 7 \). Значения совпадают.
9. При \( x = \frac{1}{3} \): \( y_{функции} = (\frac{1}{3})^3 - 5(\frac{1}{3})^2 + 6(\frac{1}{3}) + 7 = \frac{1}{27} - 5(\frac{1}{9}) + 2 + 7 = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 9 = \frac{1 - 15}{27} + 9 = -\frac{14}{27} + 9 = \frac{-14 + 243}{27} = \frac{229}{27} \). \( y_{касательной} = 3(\frac{1}{3}) - 2 = 1 - 2 = -1 \). Значения не совпадают.

Ответ: 3