4.160 Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей. а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равна ли площадь поверхности параллелепипеда сумме площадей поверхностей частей? Объясните почему.

Пошаговое решение:

а) Вычисление объёма:

1. Шаг 1: Определим размеры параллелепипеда. По рисунку, одна часть имеет размеры 10 см, 7 см, 10 см, а другая часть (видимо, нижняя) имеет размеры 10 см, 8 см, 7 см.
2. Шаг 2: Вычислим объём первой части: $$V_1 = 10 \text{ см} \times 7 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 700$$ см³.
3. Шаг 3: Вычислим объём второй части: $$V_2 = 10 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 7 \text{ см} = 560$$ см³.
4. Шаг 4: Вычислим общий объём параллелепипеда, сложив объёмы частей: $$V_{общий} = V_1 + V_2 = 700 \text{ см}³ + 560 \text{ см}³ = 1260$$ см³.
5. Шаг 5: Сравним объём параллелепипеда с суммой объёмов его частей. Они равны.

б) Вычисление площади поверхности:

1. Шаг 1: Вычислим площадь поверхности первой части (верхняя): $$S_1 = 2 \times (10 \times 7 + 10 \times 10 + 7 \times 10) = 2 \times (70 + 100 + 70) = 2 \times 240 = 480$$ см².
2. Шаг 2: Вычислим площадь поверхности второй части (нижняя): $$S_2 = 2 \times (10 \times 8 + 10 \times 7 + 8 \times 7) = 2 \times (80 + 70 + 56) = 2 \times 206 = 412$$ см².
3. Шаг 3: Сумма площадей поверхностей частей: $$S_{суммарная} = S_1 + S_2 = 480 \text{ см}² + 412 \text{ см}² = 892$$ см².
4. Шаг 4: Определим размеры всего параллелепипеда. Из рисунка видно, что общая высота равна $$7 \text{ см} + 8 \text{ см} = 15$$ см. Длина — 10 см, ширина — 7 см.
5. Шаг 5: Вычислим площадь поверхности всего параллелепипеда: $$S_{параллелепипед} = 2 \times (10 \times 7 + 10 \times 15 + 7 \times 15) = 2 \times (70 + 150 + 105) = 2 \times 325 = 650$$ см².
6. Шаг 6: Сравним площадь поверхности всего параллелепипеда с суммой площадей поверхностей частей. $$650 \text{ см}² < 892 \text{ см}²$$.
7. Шаг 7: Объяснение: Площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей поверхностей его частей, потому что при соединении частей внутренняя поверхность (место склейки) перестаёт быть внешней поверхностью, и она не учитывается в общей площади поверхности.

Ответ: а) Объём параллелепипеда равен 1260 см³. Объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. б) Площадь поверхности параллелепипеда равна 650 см². Площадь поверхности параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей частей.