4.160 Прямоугольный параллелепипед (рис. 4.31) состоит из двух частей. а) Вычислите объём параллелепипеда и его частей. Равен ли объём параллелепипеда сумме объёмов его частей? б) Вычислите площадь поверхности параллелепипеда и его частей. Равна ли площадь поверхности параллелепипеда сумме площадей поверхностей частей? Объясните почему.

Пошаговое решение:

а) Вычисление объёма:

1. Шаг 1: Определим размеры параллелепипеда. По рисунку, одна часть имеет размеры 10 см, 7 см, 10 см, а другая часть (видимо, нижняя) имеет размеры 10 см, 8 см, 7 см.
2. Шаг 2: Вычислим объём первой части: $$V_1 = 10 ext{ см} imes 7 ext{ см} imes 10 ext{ см} = 700$$ см³.
3. Шаг 3: Вычислим объём второй части: $$V_2 = 10 ext{ см} imes 8 ext{ см} imes 7 ext{ см} = 560$$ см³.
4. Шаг 4: Вычислим общий объём параллелепипеда, сложив объёмы частей: $$V_{общий} = V_1 + V_2 = 700 ext{ см}³ + 560 ext{ см}³ = 1260$$ см³.
5. Шаг 5: Сравним объём параллелепипеда с суммой объёмов его частей. Они равны.

б) Вычисление площади поверхности:

1. Шаг 1: Вычислим площадь поверхности первой части (верхняя): $$S_1 = 2 imes (10 imes 7 + 10 imes 10 + 7 imes 10) = 2 imes (70 + 100 + 70) = 2 imes 240 = 480$$ см².
2. Шаг 2: Вычислим площадь поверхности второй части (нижняя): $$S_2 = 2 imes (10 imes 8 + 10 imes 7 + 8 imes 7) = 2 imes (80 + 70 + 56) = 2 imes 206 = 412$$ см².
3. Шаг 3: Сумма площадей поверхностей частей: $$S_{суммарная} = S_1 + S_2 = 480 ext{ см}² + 412 ext{ см}² = 892$$ см².
4. Шаг 4: Определим размеры всего параллелепипеда. Из рисунка видно, что общая высота равна $$7 ext{ см} + 8 ext{ см} = 15$$ см. Длина — 10 см, ширина — 7 см.
5. Шаг 5: Вычислим площадь поверхности всего параллелепипеда: $$S_{параллелепипед} = 2 imes (10 imes 7 + 10 imes 15 + 7 imes 15) = 2 imes (70 + 150 + 105) = 2 imes 325 = 650$$ см².
6. Шаг 6: Сравним площадь поверхности всего параллелепипеда с суммой площадей поверхностей частей. $$650 ext{ см}² < 892 ext{ см}²$$.
7. Шаг 7: Объяснение: Площадь поверхности параллелепипеда меньше суммы площадей поверхностей его частей, потому что при соединении частей внутренняя поверхность (место склейки) перестаёт быть внешней поверхностью, и она не учитывается в общей площади поверхности.

Ответ: а) Объём параллелепипеда равен 1260 см³. Объём параллелепипеда равен сумме объёмов его частей. б) Площадь поверхности параллелепипеда равна 650 см². Площадь поверхности параллелепипеда не равна сумме площадей поверхностей частей.