4. (3 б) Обчисліть: cos(60° + а), якщо sin а = 0,6 і \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)

Розв'язання:

Задано: \( \sin \alpha = 0.6 \) і \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).

Потрібно обчислити: \( \cos(60^{\circ} + \alpha) \).

Використаємо формулу косинуса суми: \( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \).

У нашому випадку \( A = 60^{\circ} \) і \( B = \alpha \).

\[ \cos(60^{\circ} + \alpha) = \cos 60^{\circ} \cos \alpha - \sin 60^{\circ} \sin \alpha \]

Відомо, що \( \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} \) і \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Підставимо відомі значення \( \sin \alpha \) та \( \cos 60^{\circ} \) і \( \sin 60^{\circ} \):

\[ \cos(60^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.6 \]

\[ \cos(60^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cos \alpha - 0.3 \sqrt{3} \]

Тепер знайдемо \( \cos \alpha \) з основного тригонометричного тотожності \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \]

\[ \cos \alpha = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8 \]

Оскільки \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (перший квадрант), то \( \cos \alpha \) є додатним. Отже, \( \cos \alpha = 0.8 \).

Підставимо це значення у вираз:

\[ \cos(60^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot 0.8 - 0.3 \sqrt{3} \]

\[ \cos(60^{\circ} + \alpha) = 0.4 - 0.3 \sqrt{3} \]

Відповідь: \(0.4 - 0.3\sqrt{3}\).