4. (3 б) Обчисліть: sin(30° + а), якщо cos а = -0,6 і \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Розв'язання:

Задано: \( \cos \alpha = -0.6 \) і \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \).

Потрібно обчислити: \( \sin(30^{\circ} + \alpha) \).

Використаємо формулу синуса суми: \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \).

У нашому випадку \( A = 30^{\circ} \) і \( B = \alpha \).

\[ \sin(30^{\circ} + \alpha) = \sin 30^{\circ} \cos \alpha + \cos 30^{\circ} \sin \alpha \]

Відомо, що \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \) і \( \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Підставимо відомі значення \( \cos \alpha \) та \( \sin 30^{\circ} \) і \( \cos 30^{\circ} \):

\[ \sin(30^{\circ} + \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-0.6) + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \]

\[ \sin(30^{\circ} + \alpha) = -0.3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \]

Тепер знайдемо \( \sin \alpha \) з основного тригонометричного тотожності \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 \]

\[ \sin \alpha = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8 \]

Оскільки \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (другий квадрант), то \( \sin \alpha \) є додатним. Отже, \( \sin \alpha = 0.8 \).

Підставимо це значення у вираз:

\[ \sin(30^{\circ} + \alpha) = -0.3 + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0.8 \]

\[ \sin(30^{\circ} + \alpha) = -0.3 + 0.4 \sqrt{3} \]

Відповідь: \(-0.3 + 0.4\sqrt{3}\).