3. (3 б) Спростіть вираз: \(\cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha\)

Розв'язання:

Використаємо формулу косинуса суми: \( \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \).

У нашому випадку \( \alpha = \frac{\pi}{6} \) і \( \beta = \alpha \).

Розпишемо \( \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) \):

\[ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \cos \frac{\pi}{6} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{6} \sin \alpha \]

Відомо, що \( \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) і \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Підставимо ці значення:

\[ \cos(\frac{\pi}{6} + \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \]

Тепер підставимо це у вихідний вираз:

\[ \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha \right) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \]

Скоротимо \( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha \):

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha = - \frac{1}{2} \sin \alpha \]

Відповідь: \(-\frac{1}{2} \sin \alpha\).