4. а) Сколько существует перестановок семи учеников, при которых три определённых ученика находятся рядом друг с другом? б) Сколькими способами 28 учеников могут выстроиться в очередь в столовую? 1) Как изменится это число, если Петю Иванова и Колю Васина нельзя ставить друг за другом?

а) Считаем трёх определённых учеников одним блоком. Вместе с остальными четырьмя учениками получаем 5 объектов, которые можно переставить \(5!\) способами. Внутри блока ученики переставляются \(3!\) способами.

\(5!\cdot3!=120\cdot6=720\).

б) Очередь из 28 учеников можно составить \(28!\) способами.

Если Петя и Коля не должны стоять рядом, вычитаем очереди, где они образуют блок. Таких очередей \(2\cdot27!\): блок можно расположить двумя способами, а вместе с ним остаются 27 объектов.

Искомое число: \(28!-2\cdot27!=26\cdot27!\).

Ответ: а) 720; б) \(28!\); при условии, что Петя и Коля не стоят рядом, \(26\cdot27!\).