4*. а) Упростите выражение: (1/(n² − n) + 1/(n² + n)) : ((n + 3)/(n² − 1)). б) Найдите значение полученного выражения при n = −1.

а) Разложим знаменатели на множители и сложим дроби:

\(\frac{1}{n^2-n}+\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n-1)}+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{(n+1)+(n-1)}{n(n-1)(n+1)}=\frac{2}{n^2-1}\).

Разделим на вторую дробь:

\(\frac{2}{n^2-1}:\frac{n+3}{n^2-1}=\frac{2}{n+3}\).

Упрощённое выражение равно \(\frac{2}{n+3}\), но исходное выражение определено только при \(n\ne 0,1,-1,-3\).

б) При \(n=-1\) исходное выражение не определено: в ноль обращаются знаменатели \(n^2+n\) и \(n^2-1\). Поэтому подстановка в исходное выражение невозможна. Значение \(1\), получаемое подстановкой в упрощённую дробь, не является значением исходного выражения при \(n=-1\), поскольку при упрощении были сокращены множители, равные нулю.

Ответ: а) \(\frac{2}{n+3}\), при \(n\ne 0,1,-1,-3\); б) при \(n=-1\) выражение не определено.