4. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AB = 9.

Обозначим угол A через α. Так как M лежит на BC, в треугольнике ABM угол ABM равен 180° − α. Угол BAM равен α/2, поэтому угол AMB тоже равен α/2. Следовательно, AB = BM.

Аналогично, в треугольнике DCM угол CDM равен половине угла D, то есть 90° − α/2. Угол DCM равен α, поэтому угол DMC равен 90° − α/2. Значит, CM = CD = AB.

Итак, BC = BM + CM = 2AB. В параллелограмме AD = BC, поэтому AD = 18.

Периметр: \(P=2(AB+AD)=2(9+18)=54\).

Ответ: 54.