4. Дан тетраэдр ABCD. Точка M — середина ребра BC, точка E — середина отрезка DM. Выразите вектор AE через векторы a = AB, b = AC, c = AD.

1. Так как \(M\) — середина \(BC\), её радиус-вектор относительно точки \(A\) равен \(\overrightarrow{AM}=\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\).
2. Точка \(E\) — середина \(DM\), поэтому \(\overrightarrow{AE}=\frac{\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AM}}{2}\).
3. Подставим \(\overrightarrow{AD}=\mathbf c\) и выражение для \(\overrightarrow{AM}\): \(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\left(\mathbf c+\frac{\mathbf a+\mathbf b}{2}\right)=\frac{1}{4}\mathbf a+\frac{1}{4}\mathbf b+\frac{1}{2}\mathbf c\).

Ответ: \(\overrightarrow{AE}=\frac14\mathbf a+\frac14\mathbf b+\frac12\mathbf c\).