5. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Медианы треугольника ABD пересекаются в точке P. Разложите вектор B₁P по векторам a = B₁A₁, b = B₁C₁, c = B₁B.

1. Точка пересечения медиан треугольника — его центр тяжести. Относительно начала в точке \(B_1\) радиус-вектор центра тяжести равен среднему радиус-векторов вершин: \(\overrightarrow{B_1P}=\frac{\overrightarrow{B_1A}+\overrightarrow{B_1B}+\overrightarrow{B_1D}}{3}\).
2. Из параллелепипеда: \(\overrightarrow{B_1A}=\mathbf a+\mathbf c\), \(\overrightarrow{B_1B}=\mathbf c\), \(\overrightarrow{B_1D}=\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c\).
3. Подставим: \(\overrightarrow{B_1P}=\frac{(\mathbf a+\mathbf c)+\mathbf c+(\mathbf a+\mathbf b+\mathbf c)}{3}=\frac23\mathbf a+\frac13\mathbf b+\mathbf c\).

Ответ: \(\overrightarrow{B_1P}=\frac23\mathbf a+\frac13\mathbf b+\mathbf c\).