4. Дано: ABCD (рис. 5) — параллелограмм; M — середина BO; N — середина DO. Доказать: AMCN — параллелограмм.

Решение:

Дано:

ABCD — параллелограмм

M — середина BO

N — середина DO

Доказать:

AMCN — параллелограмм

Доказательство:

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Значит, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

Так как M — середина BO, то \( MO = \frac{1}{2} BO \).

Так как N — середина DO, то \( NO = \frac{1}{2} DO \).

Поскольку \( BO = OD \), то \( \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} DO \), следовательно, \( MO = NO \).

Рассмотрим четырёхугольник AMCN. Его диагонали — AC и MN.

Мы знаем, что \( AO = OC \) (так как O — середина AC).

Диагональ MN проходит через точку O. \( MN = MO + ON \).

Так как \( MO = NO \), то точка O является серединой отрезка MN.

Таким образом, диагонали четырёхугольника AMCN (AC и MN) пересекаются в точке O и делятся ею пополам. Следовательно, четырёхугольник AMCN является параллелограммом по признаку параллелограмма.

Что и требовалось доказать.