4. Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда:

AO = OC = 16 / 2 = 8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BCO. Угол BOC = 90°.

По условию, tg ∠BCA = 0,75. В треугольнике BCO, ∠BCO = ∠BCA.

$$tg(\angle BCO) = \frac{BO}{OC}$$

$$0,75 = \frac{BO}{8}$$

$$BO = 0,75 \times 8 = 6$$

Теперь найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора:

$$BC^2 = BO^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$

$$BC = \sqrt{100} = 10$$

Радиус вписанной окружности (r) в ромб можно найти по формуле:

$$r = \frac{d_1 \times d_2}{4a}$$

где d1 и d2 - диагонали, a - сторона ромба.

d1 = AC = 16

d2 = BD = 2 * BO = 2 * 6 = 12

a = BC = 10

$$r = \frac{16 \times 12}{4 \times 10} = \frac{192}{40} = 4,8$$

Ответ: 4,8