4. Диагональ АС ромба ABCD равна 32, a tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда AO = OC = 32/2 = 16. В прямоугольном треугольнике BOC, tg ∠BCA = BO/OC. Следовательно, BO = OC * tg ∠BCA = 16 * 0,75 = 12. Диагональ BD = 2 * BO = 2 * 12 = 24. Сторона ромба AB = √(AO² + BO²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20. Площадь ромба S = (AC * BD) / 2 = (32 * 24) / 2 = 384. Радиус вписанной окружности r = 2S / P, где P - периметр ромба. P = 4 * AB = 4 * 20 = 80. r = (2 * 384) / 80 = 768 / 80 = 9,6.