4. Диагонали AC параллелограмма ABCD отметили точки E и F (точка E лежит между точками A и F). Докажите, что BE = DF.

В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим их точку пересечения через O.

Рассмотрим центральную симметрию с центром O. Она переводит A в C, а B — в D. На диагонали AC точки E и F лежат в порядке A–E–F–C, поэтому симметричные им точки на той же диагонали располагаются в обратном порядке. Чтобы получить требуемое равенство, нужно, чтобы E и F были симметричны относительно O; из данного условия это не следует.

Например, условие допускает выбор E и F, для которого O не является серединой EF. Тогда равенство BE = DF вообще не гарантируется. Вероятно, в условии пропущено дополнительное соотношение, например, что O — середина EF.

Ответ: по указанному условию доказать BE = DF нельзя; не хватает условия о расположении E и F, например что точка пересечения диагоналей является серединой EF.